3.3 方阵函数及其计算高等工程数学 讲义 2024AU
3.3 方阵函数及其计算
3.3.1 方阵函数的概念
方阵函数的性质
分块对角阵的函数
Jordan 块的函数
3.3.2 方阵函数的计算
方法一：Jordan标准形法
方法二：最小多项式法
关于方阵函数存在的条件
方阵函数定义的推广
小结
3.3.1 方阵函数的概念设
若方阵 满足： ，则方阵幂级数 收敛.
记 ， 称为 方阵 的函数.
注：幂级数的和函数一般也称为 解析函数(Analytic Function)
例 的Taylor展开为
对任意方阵 ，定义
若
方阵函数的性质定理 设方阵 与 相似，即存在可逆矩阵 ，使得
是某个解析函数，则
例 设 ，求 .
提示：
分块对角阵的函数定理 若方阵 为对角块矩阵
则
Jordan 块的函数定理 若 是对角元为 的 阶 Jordan 块，则对解析函数 有
证明思路
例 设 ，求
思考：若 ，如何求 ？
3.3.2 方阵函数的计算
方法一：Jordan标准形法
方法二：最小多项式法
方法一：Jordan标准形法
求出方阵 的 Jordan 标准形 及其相似变换矩阵
其中 是对角元为 的 阶 Jordan 块
计算 Jordan 块 的方阵函数
例 设
求 .
的特征值
对应的特征向量
对应的特征向量
因为特征值 的几何重数为 ，小于其代数重数，故 不能相似对角化
考虑
解得
的 Jordan标准形
相似变换矩阵
注： 用 Jordan 标准形法求方阵函数的困难之处：
相似变换矩阵 及 难以计算
矩阵乘法 计算繁琐
方法二：最小多项式法设方阵 的最小多项式为 ，若函数 和 满足：对任意
则称二者 在方阵 的谱上是一致的.
例 设 ，验证 与多项式函数
在 的谱上是一致的.
的最小多项式
定理 若 和 在方阵 的谱上是一致的，设 是对角元为特征值 的阶数不超过 的 Jordan 块，则
提示： 完全由 所决定.
定理 若 和 在方阵 的谱上是一致的，则
计算方阵函数的最小(零化)多项式法：
构造一个多项式 ，使之与 在方阵 的谱上一致
则
计算 .
证明思路：
设 的最小多项式
,
设 的Jordan标准形
和 在方阵 的谱上是一致的
设 的最小多项式为
设
令
解出
例 ，求 .
提示
的最小多项式
设
令
即
解得
关于方阵函数存在的条件方阵函数 存在的前提
函数 为解析函数
即:
例 考虑函数 ，方阵 ，求 .
因为 ，所以 发散
进而可知， 没有定义
但实际上
这说明前述方阵函数的定义过于严格！
方阵函数定义的推广设 是 阶方阵， 是给定的函数，若存在多项式 ，使得 与 在 的谱上是一致的，则可定义方阵函数
例 ，计算 .
提示
的特征多项式：
的最小多项式：
设
令
解得
小结
方阵函数：解析函数的推广
方阵函数的计算
Jordan 标准形法：计算复杂
最小多项式法
和 在 的谱上一致